Aljabar adalah cabang dari ilmu matematika yang mempelajari tentang penggunaan
huruf-huruf sebagai alat bantu dalam menyelesaikan suatu masalah matematika.
Jika biasanya dalam matematika hanya menggunakan angka-angka saja, maka dalam
aljabar huruf digunakan untuk membantu angka dalam menyelesaikan masalah
matematika.
Materi ini telah diupdate pada tanggal 17 Juli 2022.
Apa yang dimaksud variabel?
Sebelumnya telah dijelaskan, bahwa dalam aljabar kita menggunakan huruf-huruf
untuk membantu angka dalam menyelesaikan suatu masalah matematika. Huruf-huruf
yang digunakan untuk membantu angka dalam menyelesaikan suatu masalah
matematika disebut sebagai variabel.
Huruf-huruf alfabet (dari huruf a sampai dengan huruf z) sebenarnya dapat
digunakan sebagai simbol untuk variabel. Namun, pada umumnya huruf-huruf
alfabet yang sering digunakan untuk variabel adalah huruf a, b, c, x, y dan
z.
Apa yang dimaksud dengan suku, koefisien dan konstanta?
Perhatikan contoh aljabar berikut ini!
5x + 3y + 7
Bila kita analisis, contoh aljabar tersebut memiliki tiga suku, yaitu suku
pertama (nilainya 5x), suku kedua (nilainya 3y) dan suku ketiga (nilainya 7).
Dalam aljabar, suku adalah huruf, angka atau gabungan keduanya
(gabungan huruf dan angka) yang dipisahkan oleh operasi aritmetika
(penjumlahan, pengurangan, perkalian atau pembagian).
Setelah kita mengetahui tentang suku, kita perlu mengetahui pula tentang
koefisien dan konstanta. Koefisien adalah angka yang dibelakangnya
memiliki variabel. Pada contoh sebelumnya, angka 5 (pada 5x) dan angka 3 (pada
3y) adalah koefisien.
Adapun konstanta adalah angka yang dibelakangnya tidak memiliki
variabel. Pada contoh sebelumnya, angka 7 adalah konstanta karena
dibelakangnya tidak memiliki variabel.
Latihan Soal 1
12x + 4y + 8
1. Berapa banyak suku dalam aljabar tersebut?
2. Suku mana yang memiliki koefisien?
3. Suku mana yang berisi konstanta saja?
4. Ada berapa variabel dalam aljabar tersebut?
Dalam aljabar tersebut, terdapat tiga suku, yaitu suku pertama (nilainya
12x), suku kedua (nilainya 4y) dan suku ketiga (nilainya 8).
Suku yang memiliki koefisien adalah suku pertama dan suku kedua.
Suku yang berisi konstanta saja adalah suku ketiga.
Terdapat dua variabel dalam aljabar tersebut, yaitu variabel x dan
variabel y.
Mengubah Permasalahan Ke Dalam Bentuk Aljabar
Tujuan kita mempelajari aljabar, yaitu untuk menyelesaikan permasalahan
sehari-hari yang berhubungan dengan matematika, baik terkait perhitungan
maupun pengukuran dengan menggunakan aljabar.
Hal pertama yang terlebih dahulu harus kita lakukan dalam rangka menyelesaikan
masalah sehari-hari, yaitu mengubah permasalahan sehari-hari tersebut kedalam
bentuk aljabar.
Perhatikan contoh berikut ini!
Contoh 1
Adi membeli 5 kg jeruk dan 3 kg apel. Jika harga satu kilogram jeruk sebesar x
dan harga satu kilogram apel sebesar y, maka ubahlah bentuk permasalahan
tersebut kedalam bentuk aljabar!
Pembahasan Jawaban
Harga satu kilogram jeruk sebesar x, maka harga 5 kg jeruk adalah 5x
Harga satu kilogram apel sebesar y, maka harga 3 kg apel adalah 3y
Berdasarkan uraian tersebut, maka bentuk aljabar dari permasalahan
tersebut, yaitu sebagai berikut
Jawaban: 5x + 3y
Contoh 2
Ani membeli 2 kg daging ayam, 1 kg tomat dan 5 kg tepung terigu. Jika harga
satu kilogram daging ayam adalah x, harga satu kilogram tomat adalah y dan 5
kg tepung terigu adalah z, maka ubahlah bentuk permasalahan tersebut kedalam
bentuk aljabar!
Pembahasan Jawaban
Harga satu kilogram daging ayam adalah x, maka harga 2 kg daging ayam
adalah 2x.
Harga satu kilogram tomat adalah y, maka harga 1 kg tomat adalah y
(khusus untuk angka 1 tidak ditulis didepan variabel, maka penulisan 1y
tidaklah tepat, penulisan yang tepat adalah y).
Harga satu kilogram tepung terigu adalah z, maka harga 5 kg tepung terigu
adalah 5z.
Berdasarkan uraian tersebut, maka bentuk aljabar dari permasalahan
tersebut, yaitu sebagai berikut
Jawaban: 2x + y + 5z
Latihan Soal
Maman membeli 2 liter minyak goreng, 3 kg tepung terigu dan 4 kg telur. Jika
harga satu liter minyak goreng adalah x, harga satu kilogram tepung terigu
adalah y dan satu kilogram telur adalah z, maka ubahlah bentuk permasalahan
tersebut kedalam bentuk aljabar!
Diketahui harga satu liter minyak goreng adalah x, maka harga 2 liter
minyak goreng adalah 2x.
Harga satu kilogram tepung terigu adalah y, maka harga 3 kg tepung
terigu adalah 3y.
Harga satu kilogram telur adalah z, maka harga 4 kg telur adalah 4z.
Berdasarkan uraian tersebut, maka bentuk aljabar dari permasalahan
tersebut, yaitu sebagai berikut.
Jawaban : 2x + 3y + 4z
Menyederhanakan Aljabar
Perhatikan contoh aljabar berikut ini!
Contoh 1
10x + 5y + 8 + 4y + 6x + z + 2
Bila kita analisis, aljabar yang tercantum dalam contoh tersebut dapat
disederhanakan. Alasannya, karena dalam aljabar tersebut terdapat suku-suku
yang sejenis. Jika dalam suatu aljabar terdapat suku-suku yang sejenis, maka
aljabar tersebut dapat disederhanakan.
Langkah-langkah untuk menyederhanakan aljabar, yaitu sebagai berikut:
1. kelompokan suku-suku yang sejenis
Untuk mengelompokkan suku-suku yang sejenis, susun posisi suku-suku yang
sejenis agar berdekatan satu sama lain. Berikut ini hasil pengelompokan
suku-suku yang sejenis dari contoh aljabar yang sedang dibahas:
10x + 6x + 5y + 4y + z + 8 + 2
2. gunakan operasi aritmetika pada suku-suku sejenis
Setelah mengelompokkan suku-suku yang sejenis, selanjutnya gunakan operasi
aritmetika (penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian) pada suku-suku
sejenis.
10x + 6x + 5y + 4y + z + 8 + 2
= (10x + 6x) + (5y + 4y) + (8+2)
= 16x + 9y + 10
Hasil penyederhanaan dari aljabar tersebut adalah 16x + 9y + 10
Catatan : jika koefisien variabel bernilai satu, maka koefisien tersebut tidak
ditulis di awal variabel, hanya variabelnya saja yang ditulis. Oleh sebab itu,
penulisan 1z tidak tepat. Penulisan yang tepat adalah z saja.
Contoh 2
12x + 3y -2x -y + 2z + 8 + 3
1. Kelompokan suku-suku yang sejenis
12x - 2x + 3y - y + 2z + 8 + 3
2. Gunakan operasi aritmetika pada suku-suku sejenis
12x - 2x + 3y - y + 2z + 8 + 3
= (12x - 2x) + (3y - y) + 2z + (8 + 3)
= 10x + 2y + 2z + 11
Hasil penyederhanaan dari aljabar tersebut, yaitu sebagai berikut:
10x + 2y + 2z + 11
Penjumlahan Aljabar
Suku-suku yang terdapat dalam aljabar dapat dijumlahkan dengan suku-suku
lainnya dalam suatu operasi perhitungan.
Hanya suku sejenis saja yang dapat dijumlahkan. Jika suku tidak
sejenis, maka suku aljabar tidak dapat dijumlahkan.
Contoh Soal 1
Jumlahkan suku-suku aljabar berikut ini!
2x + 3y + z
Pembahasan Jawaban
Suku-suku aljabar pada contoh soal 1 tidak dapat dijumlahkan, karena tidak
memiliki suku yang sejenis.
Contoh Soal 2
Jumlahkan suku-suku aljabar berikut ini!
3x + 2y + x + 3y + 5 + 8
Pembahasan Jawaban
Suku-suku aljabar pada contoh soal 2 dapat dijumlahkan. Alasannya, karena
terdapat suku-suku yang sejenis. Untuk menentukan suku-suku sejenis dapat
berpedoman pada ketentuan berikut ini:
Jika suku terdiri dari koefisien dan variabel (contoh: 3x), maka suku yang
sejenis adalah suku yang memiliki variabel yang sama (koefisien tidak
dijadikan patokan untuk menentukan suku yang sejenis).
Jika suku terdiri dari variabel saja (contoh: y), maka suku sejenis adalah
suku yang memiliki variabel yang sama.
Jika suku terdiri dari konstanta saja, maka suku sejenis adalah suku yang
memiliki konstanta saja (suku tidak boleh memiliki variabel).
Berdasarkan ketentuan tersebut, maka:
3x + 2y + x + 3y + 5 + 8
= (3x + x ) + (2y+3y) + (5+8)
= 4x + 5y + 13
Jawaban: 4x + 5y + 13
Contoh Soal 3
Anggi memiliki 3 buah pensil dan 2 buah penghapus. Jika Anggi membeli 5 buah
pensil dan 3 buah penghapus, maka ubahlah permasalahan tersebut
kedalam bentuk aljabar dan jumlahkan suku-suku yang sejenis.
Pembahasan Jawaban
Jika dalam soal tidak dicantumkan ketentuan khusus tentang penamaan variabel
(misalnya satu buah pensil harus dinyatakan dengan variabel x, y atau z), maka
kita bisa menentukan sendiri nama variabel tersebut. Dalam matematika, nama
variabel yang umumnya digunakan adalah a, b, c, x, y, z.
Kita ibaratkan 1 buah pensil sama dengan x, maka 3 buah pensil sama dengan
3x.
Kemudian, 1 buah penghapus sama dengan y, maka 2 buah penghapus sama dengan
2y.
Jika Anggi membeli 5 buah pensil, maka pembelian pensil tersebut sama dengan
5x.
Kemudian, Anggi membeli 3 buah penghapus, maka pembelian penghapus tersebut
sama dengan 3y.
Berdasarkan uraian tersebut, maka bentuk aljabar dari permasalahan yang
terdapat pada contoh soal 3, yaitu sebagai berikut:
Jawaban : 3x + 2y + 5x + 3y
Selanjutnya, kita jumlahkan suku-suku tersebut:
3x + 2y + 5x + 3y
= (3x + 5x) + (2y + 3y)
= 8x + 5y
Jawaban hasil penjumlahan aljabar: 8x + 5y
Pengurangan Aljabar
Sama halnya seperti penjumlahan aljabar, dalam pengurangan aljabar pun hanya
suku-suku yang sejenis yang dapat dilakukan pengurangan. Jika suku-suku
aljabar tidak sejenis, maka suku-suku tersebut tidak dapat dilakukan
pengurangan aljabar.
Contoh Soal Pengurangan Aljabar 1
Lakukan pengurangan pada suku-suku aljabar berikut ini!
3x - y - 5
Pembahasan Jawaban
Suku-suku aljabar pada contoh soal 1 tidak dapat dilakukan pengurangan
aljabar, karena tidak memiliki suku yang sejenis.
Contoh Soal Pengurangan Aljabar 2
Lakukan pengurangan pada suku-suku aljabar berikut ini!
15x - y - 2x - y + 5
Pembahasan Jawaban
Suku-suku aljabar pada contoh soal 2 dapat dilakukan pengurangan aljabar.
Alasannya, karena terdapat suku-suku yang sejenis. Adapun langkah-langkah
pengerjaannya, yaitu sebagai berikut:
1. Kelompokkan suku-suku sejenis
15x - 2y - 2x - y + 5
= (15x - 2x) + (-2y - y) + 5
Catatan
Untuk memudahkan perhitungan, selalu gunakan tanda penjumlahan (+) diantara
suku-suku yang telah dikelompokkan dengan menggunakan tanda kurung, kecuali
apabila dalam soal sudah ditentukan tanda yang harus digunakan dalam
pemisahan suku-suku.
2. Lakukan pengurangan pada suku-suku sejenis
(15x - 2x) + (-2y - y) + 5
= 13x + -3y + 5
Catatan
Jika ada tanda plus (+) dan tanda minus (-) berdekatan satu sama lain, salah
satu tanda dapat dihapus/diubah dengan ketentuan sebagai berikut:
Jika tanda plus (+) berdekatan dengan tanda minus (-), maka hasilnya adalah
minus (-)
Jika tanda minus (-) berdekatan dengan tanda plus (+), maka hasilnya adalah
minus (-)
Jika tanda minus (-) berdekatan dengan tanda minus (-), maka hasilnya adalah
plus (+)
Pada contoh tersebut ada tanda plus (+) dan minus (-) yang saling berdekatan
maka hasilnya adalah minus (-), sehingga:
13x + -3y + 5 sama nilainya dengan 13 - 3y + 5
Contoh soal pengurangan aljabar 3
Lakukan pengurangan pada suku-suku aljabar berikut ini!
(3x + 4y) - (5x - 6y)
Pembahasan Jawaban
Dalam contoh soal 3, suku-suku aljabar telah dikelompokkan tetapi
pengelompokkan tersebut tidak berisi suku-suku yang sejenis. Oleh sebab itu,
pengelompokkan tersebut harus diubah agar tiap-tiap kelompok memuat suku
yang sejenis.
(3x + 4y) - (5x - 6y)
= 3x + 4y - 5x - -6y
jika semua suku aljabar dalam contoh 3 kita keluarkan dari tanda kurung,
terdapat tanda operasi aritmetika yang berdekatan/beradu, sehingga harus
dihilangkan salah satu.
Sebelumnya, kita telah mengetahui apabila tanda (-) berdekatan/beradu dengan
tanda minus (-) maka hasilnya adalah plus (+), sehingga aljabar tadi dapat
diubah bentuknya menjadi sebagai berikut:
3x + 4y - 5x - -6y
= 3x + 4y - 5x + 6y
Selanjutnya, kelompokkan aljabar tersebut dengan suku-suku sejenis
3x + 4y - 5x + 6y
= (3x - 5x) + (4y + 6y)
Catatan
Untuk memudahkan perhitungan, selalu gunakan tanda penjumlahan (+) diantara
suku-suku yang telah dikelompokkan dengan menggunakan tanda kurung, kecuali
apabila dalam soal sudah ditentukan tanda yang harus digunakan dalam
pemisahan suku-suku.
(3x - 5x) + (4y + 6y)
= -2x + 10y
Jawaban : -2x + 10y
Perkalian Aljabar
Berbeda dengan penjumlahan dan pengurangan aljabar, yang mana hanya
suku-suku sejenis saja yang dapat dijumlahkan dan dikurangkan.
Dalam perkalian aljabar, aturan tersebut tidak berlaku karena suku-suku
yang sejenis maupun tidak sejenis dapat dikalikan.
Catatan
Dalam materi ini, simbol perkalian diwakili dengan tanda bintang (*).
Alasannya, agar simbol perkalian tidak tertukar dengan huruf x. Pada
umumnya, dalam matematika untuk mewakili simbol perkalian bisa menggunakan
huruf x, tanda bintang atau tanda titik tengah, namun untuk memudahkan
pembelajaran materi ini, kita akan menggunakan tanda bintang untuk mewakili
simbol perkalian.
Dalam perkalian aljabar, suku sejenis maupun tidak sejenis dapat dikalikan.
Aturan perkalian aljabar, yaitu sebagai berikut:
1. Perkalian antara konstanta dengan konstanta hasilnya adalah
konstanta.
Contoh
5 * 4 = 20
4 * 3 = 12
2 * 5 = 10
2. Perkalian antara konstanta dengan variabel hasilnya adalah gabungan
antara konstanta dan variabel yang sedang dikalikan.
Contoh
5 * x = 5x (karena konstanta telah bergabung dengan variabel, maka istilah
konstanta berubah menjadi koefisien).
6 * y = 6y
8 * z = 8z
3. Perkalian antara variabel dengan variabel yang sama hasilnya variabel
berpangkat.
Contoh
x * x = x2
y * y * y = y3
z * z * z * z = z4
4. Perkalian antara variabel dengan variabel yang berbeda jenis hasilnya
adalah gabungan variabel yang sedang dikalikan.
Contoh
x * y = xy
x * z = xz
y * z = yz
5. Perkalian antara variabel yang berkoefisien dengan variabel saja
hasilnya adalah koefisien tetap dan variabel yang sedang dikalikan
bergabung.
Contoh
2x * y = 2xy
x * 2y = 2xy
3x * z = 3xz
6. Perkalian antara variabel yang berkoefisien dengan konstanta hasilnya
koefisien dikalikan dengan konstanta sedangkan variabel tetap tidak
berubah.
Contoh
2x * 3 = 6x
4x * 5 = 20x
2y * 4 = 8y
7. Perkalian antara variabel yang berkoefisien dengan variabel yang
berkoefisien hasilnya koefisien dikali koefisien dan variabel dikali
variabel.
Contoh
2x * 2y = 4xy
3y * 6z = 18yz
3x * 4x = 12x2
5y * 2y = 10y2
Silahkan klik tombol dibawah ini untuk melanjutkan membaca artikel:
